考试
1、【题目】证明形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和
答案：
证明 设 n是正数 , 并且 n≡-1(mod 4)
如果n=x²+ y ²
则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余
所以x ², y² 只能与 0,1 同余
所以x²+y²≡0,1,2(mod 4)
而这与 n≡-1(mod 4) 的假设不符
即定理的结论成立
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1、【题目】证明对于任意整数n，数n/3+n²/2+n³/6是整数
答案：
n/3+n²/2+n³/6是整数
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1、【题目】求其中563是素数
答案：
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1、【题目】证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除
答案：
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1、【题目】解同余式12x＋15≡0(mod45)
答案：
因为(12,45)=3|5, 所以同余式有解 , 而且解的个数为3
又同余式等价于 4x＋5≡0(mod 15), 即 4x＋5 =15 y
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3)
即定理 4.1 中的 x0=10
因此同余式的 3 个解为
x≡10(mod 45)
x≡ 10＋15(mod 45) ≡25(mod 45)
x≡10+30(mod 45) ≡40(mod 45)
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1、【题目】证明：若n为自然数，则（21n+4,14n+3）=1。
答案：
（1）证明：不妨设（ 21n+4,14n+3 ）=d,则
d|21n+4,d|14n+3,也有 d|2 (21n+4),d|3 (14n+3), 则 d|3 14n+9-21n x 2-8
即 d|1,则 d=1,即(21n+4,14n+3)=1.
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1、【题目】证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除
答案：
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